Décrire différents ensembles de nombres

C'est avec les nombres entiers naturels que l'enfant apprend à compter. Cet ensemble de nombres se révèle bien vite trop petit pour résoudre certains problèmes de géométrie, par exemple. Il faut construire de nouveaux systèmes, ajouter aux chiffres de nouveaux signes : la virgule, la barre de fraction, le radical, etc.

Quels sont donc les différents ensembles de nombres ?

1. Une brève histoire des nombres

1.1. Les nombres entiers naturels

Ainsi que l'indique l'adjectif naturel, ces nombres sont ceux que l'on utilise le plus spontanément : comme l'enfant apprenant à compter sur ses doigts, l'homme a commencé à compter des objets ou des animaux. « Naturellement », on compte : 1, 2, 3, etc. Mais attention : pour les mathématiciens, les nombres entiers naturels commencent à 0, et non à 1 !

1.2. Les nombres rationnels

Avec les problèmes de partage ou de mesure de longueurs sont apparues les fractions de

nombres entiers, ce que l'on appelle en mathématiques les nombres rationnels, comme par exemple. Les Grecs ne connaissaient que les nombres entiers naturels (mais pas le zéro) et les nombres rationnels que nous qualifions aujourd'hui de positifs.

1.3. Les nombres décimaux

La notion de nombre décimal est issue de la notion de fraction : les nombres décimaux correspondent, en effet, à des fractions particulières. Aujourd'hui, un nombre décimal désigne un nombre que l'on peut écrire à l'aide d'une virgule suivie d'un nombre fini de chiffres, 23,45 par exemple.

À l'origine, on parlait de fraction décimale d'un nombre entier. C'est le mathématicien flamand Simon Stevin qui publia le premier traité sur les nombres décimaux, la Disme, au xvie siècle. Sa notation n'était pas celle que nous utilisons aujourd'hui : le nombre que nous écrivons 6,19 se notait à l'époque « 6 plus 1 prime plus 9 sekondes », où les mots « prime » et « sekonde » désignaient respectivement ce que nous appelons aujourd'hui « dixième » et « centième ».

La notation actuelle des nombres décimaux date du début du xviie siècle.

1.4. Les nombres négatifs

On a trouvé des traces de l'utilisation des nombres négatifs en Inde au viie siècle de notre ère. Il faut noter que les Indiens utilisaient le zéro, condition nécessaire pour concevoir des nombres négatifs. Les nombres négatifs étaient appelés « nombres dettes », pour des raisons commerciales, exactement comme aujourd'hui un relevé de compte bancaire possède deux colonnes intitulées « crédit » (pour les recettes) et « débit » (pour les dépenses).

L'utilisation des nombres négatifs en Occident est bien plus tardive. Les mathématiciens italiens de la Renaissance, spécialistes de l'algèbre (science qui étudie la résolution des équations), concevaient bien que, sans les nombres négatifs, il leur était impossible de résoudre certaines équations (x + 7 = 0 par exemple). Cependant, ils hésitaient à considérer ces solutions comme des nombres à part entière. Au xviie siècle encore, le mathématicien français Descartes qualifiait les nombres négatifs de « nombres faux ».

Il faudra attendre le xixe siècle pour que les nombres négatifs accèdent enfin au titre de véritables nombres.

1.5. Les nombres irrationnels

Les disciples de Pythagore ont démontré que la longueur de la diagonale d'un carré de côté 1 n'est pas un nombre rationnel. Ce nombre est aujourd'hui noté et ce type de nombre est appelé nombre irrationnel.

2. Les différents ensembles de nombres en mathématiques

Il existe des relations entre les différents ensembles de nombres.

2.1. Les nombres entiers naturels

Tous les nombres utilisés en mathématiques sont construits à partir des nombres entiers naturels dont l'ensemble est noté N.

Exemples : 12, 5 et 0 sont des entiers naturels.

2.2. Les nombres entiers relatifs

Ce sont les nombres entiers naturels auxquels on affecte un signe « + » pour les nombres positifs ou « - » pour les nombres négatifs. L'ensemble des nombres entiers relatifs est noté Z (de l'allemand Zahl, qui signifie nombre).

Exemples : +3, 0 et -72 sont des entiers relatifs.

Nous savons que les nombres positifs peuvent s'écrire sans leur signe « + », par exemple : +7 = 7.

Par conséquent, tout nombre entier naturel est un nombre entier relatif. En mathématiques, on dit que l'ensemble N est inclus dans l'ensemble Z, ce que l'on note : .

2.3. Les nombres décimaux relatifs

Ce sont les nombres décimaux positifs ou négatifs dont l'ensemble est noté D.

Exemples : 12,258 et –45,6 sont des nombres décimaux relatifs.

Tout nombre entier relatif peut s'écrire à l'aide d'une virgule, par exemple : –2 = –2,0.
Par conséquent, tout nombre entier relatif est un nombre décimal relatif. Autrement dit : .

2.4. Les nombres rationnels

Ce sont les fractions de la forme , où a et b sont des nombres entiers relatifs et .

L'ensemble des nombres rationnels est noté Q.

Exemples : et sont des nombres rationnels.

Tout nombre décimal relatif peut s'écrire sous la forme d'une fraction, par exemple :

.

Par conséquent, tout nombre décimal relatif est un nombre rationnel. Autrement dit : .

2.5. Les nombres réels

Comme nous l'avons déjà mentionné, il existe des nombres qui ne sont pas rationnels, comme par exemple. Nous admettrons l'existence d'un ensemble de nombres appelés nombres réels, qui contient tous les nombres cités précédemment. Tous les nombres étudiés au collège sont des nombres réels. L'ensemble des nombres réels est noté R.

Exemples : 5 ; –29 ; –49,21 ;  ; et sont des nombres réels.

Nous disposons donc au collège de cinq ensembles de nombres inclus les uns dans les autres : .