Croissances comparées

Notre objectif est ici de comparer les fonctions logarithme népérien et exponentielle de base e aux fonctions puissances d’exposant réel. Les résultats obtenus, après factorisation de la puissance, permettent de lever des indéterminations du type «   –   » au voisinage de l’infini.

Parmi les multiples applications économiques des fonctions puissances, on retiendra le calcul d’un taux de variation sur un an, quand on connaît le taux d’évolution sur n années.

1. Quelles sont les caractéristiques des fonctions puissances d’exposant réel xα, définies sur ]0 ; +∞[ ?

On sait que : y = xα équivaut à ln y = ln xα, ou encore à ln y = αln x.

D’où : .

Donc équivaut à .

Quelle est la dérivée de  ?

La fonction f, définie sur ]0 ; + [, par c’est-à-dire est la composée de la fonction logarithme népérien par la fonction exponentielle de base e.

En appliquant la formule , on obtient :

D’où : .

Quel est le sens de variation de  ?

Étudions le signe de la dérivée

Si est positif, comme l’exponentielle est une fonction strictement positive, la dérivée est positive et la fonction est croissante.

Si est négatif, la dérivée est négative et la fonction est décroissante.

On vérifie graphiquement le sens de variation en traçant les courbes d’équations

.

2. Quelles sont les limites de xα en 0 et en +∞ ?

L’écriture montre que les limites dépendent du signe de .

Si est positif, alors :

d’où :

La limite en 0 est 0.

d’où :

La limite en est .

Si est négatif, alors :

d’où :

L’axe des ordonnées est donc asymptote au voisinage de 0+.

d’où :

L’axe des abscisses est donc asymptote au voisinage de .

3. Comment croît la fonction exponentielle de base e par rapport aux fonctions puissances ?

On étudie la limite en du quotient

Exprimons d’abord le logarithme népérien de ce quotient :

En factorisant x pour faire apparaître le quotient , on obtient :

Au voisinage de  : donc le produit implique :

Comme au voisinage de l’infini la fonction logarithme népérien a une limite infinie, alors

La fonction exponentielle de base e tend donc vers l’infini infiniment plus vite que n’importe quelle fonction puissance.

4. Comment croît la fonction puissance par rapport à la fonction logarithme népérien ?
On peut écrire :

Or, comme , alors

Donc, quel que soit l’exposant réel , la fonction puissance tend vers l’infini infiniment plus vite que la fonction logarithme népérien.

5. Comment détermine-t-on un taux équivalent ?

Quelle est la solution de l’équation x  = a (a > 0) ?

Si , il y a une solution pour x = a = 1.

Pour , on peut élever les deux membres à la puissance  :

, d’où : .

Ainsi, si la population d’une ville passe en quatre ans de 30 000 à 18 000 habitants, le taux t de variation annuelle vérifie :

, ou plus simplement :  0,6 = (1 – t)4.

Isolons t en appliquant la règle précédente :

, soit 0,88 = 1 – t, d’où t = 0,12.

On observe donc une baisse de 12 % par an.

À retenir

Pour équivaut à .

La dérivée de f(x) = xα est de la forme f’(x) = α xα – 1.

Son signe est celui de .

Les limites de la fonction x exposant en 0 et + dépendent du signe de .

On constate que :

• la fonction exponentielle de base e tend vers l’infini infiniment plus vite que toute fonction puissance ;

• quel que soit l’exposant réel , la fonction puissance tend vers l’infini infiniment plus vite que la fonction logarithme népérien.

Pour a > 0 et  :

l’égalité équivaut à .