Continuité et dérivation

L'étude des fonctions est complétée en terminale par la notion de continuité. C'est l'occasion de découvrir une fonction qui n'est pas continue : la fonction partie entière.

Cette notion de continuité est importante en économie ; elle sert notamment à modéliser les phénomènes à effet de seuil.

1. Comment reconnaît-on une fonction continue ?

Intuitivement, on peut dire qu'une fonction est continue lorsque l'on peut parcourir sa représentation graphique sans lever le crayon.

Pratiquement, une fonction f est continue sur un intervalle I, si elle est définie pour tout réel a de cet intervalle et si :

Ainsi, la fonction f représentée ci-dessous et définie sur [0 ; 5] n'est pas continue en 3 car et (les limites à gauche et à droite de la valeur 3 sont différentes).

2. Qu'est-ce que la fonction partie entière ?

La fonction partie entière associe à chaque nombre positif sa partie entière, située à gauche de la virgule. On la note : .

Plus généralement, si x est encadré par deux entiers relatifs consécutifs n et n + 1, la fonction partie entière est définie par E(x) = n avec .

Ainsi :

E(2,5) = 2 ; E(2) = 2 ; E(–2,5) = –3  car  ; E(–3) = –3.

Sa représentation graphique est une celle d'une fonction constante par intervalles (ou fonction en escalier).

On peut remarquer que : et

Les limites à gauche et à droite de 3 étant différentes, la fonction partie entière n'est pas continue en 3. Il en est de même pour toutes les valeurs entières.

3. Une fonction continue est-elle toujours dérivable ? Une fonction dérivable est-elle toujours continue ?

Une fonction f est dérivable en a lorsque l'on peut définir le nombre dérivé :

En considérant la représentation graphique C de f et sa tangente T au point (a ; f(a)), on observe que lorsque h est proche de 0, f(a) + hf'(a) est une approximation de f(a + h).

D'où :

Donc f est continue en a.

Plus généralement, si une fonction est dérivable sur un intervalle, alors elle est continue sur cet intervalle.

Attention, la réciproque est fausse. Une fonction continue n'est pas nécessairement dérivable.

Considérons, par exemple, la fonction g définie sur [0 ; + [ par :

g est continue en 4 car et

En revanche, la fonction g n'est pas dérivable en 4 car la dérivée à gauche de 4 est et la

dérivée à droite de 4 est

4. Que dit le théorème des valeurs intermédiaires ? À quoi sert-il ?

Soit une fonction f continue sur un intervalle [a ; b]. Alors il y a pour tout au moins un nombre tel que f(x0) = y. x0 est unique lorsque la fonction f est strictement monotone.

Graphiquement, le nombre de solutions de l'équation f(x) = c correspond au nombre de points d'intersection de la courbe représentant f avec la droite d'équation y = c. Si f est strictement monotone, alors cette équation a une solution unique.

5. Qu'appelle-t-on coût marginal ?

Le coût marginal est le surcoût engendré par la production d'un objet supplémentaire. Ce surcoût varie en fonction du nombre d'objets préalablement fabriqués.

On définit de la même manière la recette marginale et le bénéfice marginal.

Si le nombre d'objets préalablement fabriqués est suffisamment grand, les économistes conviennent d'en faire une approximation par le nombre dérivé.

On a alors pour une fonction coût C : C(x + 1) – C(x)   C'(x).

Par exemple, si la fonction coût est donnée par C(x) = 0,02x3 + 0,5x2 + 100, le coût marginal du 101e objet est donné par C(101) – C(100) = 707.

En utilisant l'approximation donnée par la dérivée C'(x) = 0,06x2 + x, on trouve C'(100) = 0,06 × 1002 + 100 = 700. Soit une erreur de seulement 1 %.

À retenir

Une fonction f est continue sur un intervalle I si elle est définie pour tout réel a de cet intervalle et si, au voisinage de a,

Si une fonction est dérivable sur un intervalle, alors elle est continue sur cet intervalle. Attention, la réciproque est fausse : une fonction continue n'est pas nécessairement dérivable.

Si une fonction est continue, le théorème des valeurs intermédiaires permet de connaître les valeurs exactes ou approchées des solutions éventuelles de l'équation f(x) = c. Ce sont les abscisses des points d'intersection de la courbe représentant f avec la droite d'équation y = c.