Construire la tangente à un cercle en l'un de ses points

Quelles sont les propriétés de la tangente au cercle en un point de ce cercle ?

Et comment construit-on cette tangente à la règle et au compas ?

1. Définition et construction de la tangente à un cercle

1.1. Position d'une droite et d'un cercle

On considère un cercle de centre O et de rayon r. Soit d une droite et H le pied de la perpendiculaire à d passant par O.

La longueur OH est la distance du point O à la droite d.

Cas 1 : OH < r, la droite d est sécante au cercle.

Cas 2 : OH = r, la droite d est tangente au cercle.

Cas 3 : OH > r, la droite d est extérieure au cercle.

1.2. Définition

Considérons un cercle de centre O et de rayon r. Soit A un point de ce cercle. La droite passant par A et perpendiculaire au diamètre (OA), s'appelle la tangente en A au cercle.

A s'appelle le point de contact de la tangente d et du cercle.

1.3. Propriétés

A est le seul point commun à la tangente et au cercle.

Si M est un point de d, distinct de A, alors OM > r.

Le diamètre (OA) est axe de symétrie pour la figure composée du cercle et de sa tangente en A.

2. Construction de la tangente à un cercle

Soit un cercle de centre O et A un point de ce cercle. On veut construire la tangente à ce cercle au point A. Le problème revient à construire une droite perpendiculaire à une droite donnée (ici (OA)), et passant par un point de cette droite (ici le point A).

Il suffit de placer le point O', symétrique de O par rapport à A, puis de tracer la médiatrice du segment [OO']