Construire l'image d'une figure par une rotation

Le mot rotation vient du latin rotare qui veut dire « tourner ». Faire subir une rotation à une figure, cela veut donc dire la faire tourner.

Comment peut-on construire l'image d'une figure par rotation et quelles sont les propriétés de cette transformation ?

1. Définition

Soit O et M deux points distincts du plan, et a une mesure d'angle en degrés .

On appelle M' un point du cercle de centre O passant par M tel que

Si, en parcourant l'arc MM', on va de M à M' dans le sens des aiguilles d'une montre, on dit que le point M' est l'image de M par la rotation de centre O et d'angle a dans le sens des aiguilles d'une montre.

Si, en parcourant l'arc MM', on va de M à M' dans le sens contraire des aiguilles d'une montre, on dit que le point M' est l'image de M par la rotation de centre O et d'angle a dans le sens contraire des aiguilles d'une montre.

Cas particuliers :

Si O est le milieu d'un segment [MM'], alors M' est l'image de M par la rotation de centre O et d'angle 180° (dans ce cas, il est inutile de préciser le sens) ; l'image d'un point O par une rotation de centre O est le point O lui-même.

Exemples : sur la figure 4, on peut dire que :

le point M' est l'image du point M par la rotation de centre O et d'angle 120° dans le sens contraire des aiguilles d'une montre ;

le point B est l'image du point A par la rotation de centre I et d'angle 45° dans le sens des aiguilles d'une montre.

Remarque : si le sens de rotation n'est pas précisé, on choisit par convention le sens contraire des aiguilles d'une montre. Ce sera le cas dans tous les exemples ci-dessous.

2. Figures élémentaires

2.1. Image d'une droite

Sur la figure 5, on a construit l'image d'une droite d par une rotation de centre O et d'angle 70°. Pour cela, on a placé plusieurs points A, B, C, E et F sur d, puis on a construit leurs images respectives par cette rotation. On constate alors que les points A', B', C', E' et F' sont alignés.

Nous admettrons la propriété suivante : une rotation transforme des points alignés en des points alignés.

Si on appelle d' la droite passant par les points A', B', C', E'et F', on admettra que la droite d' est l'image de la droite d par la rotation de centre O et d'angle 70°.

Nous admettrons la propriété suivante : l'image d'une droite par une rotation est une droite.
2.2. Image d'un segment

Sur la figure 6, on a construit l'image d'un segment [AB] par une rotation de centre O et d'angle 90°. Pour cela, on a construit les images respectives A' et B' de A et de B par cette rotation.

Nous admettrons que le segment [A'B'] est l'image du segment [AB] par la rotation de centre O et d'angle 90°. On constate que les segments [AB] et [A'B'] ont la même longueur.

Nous admettrons cette propriété générale des rotations : une rotation conserve les longueurs, c'est-à-dire que, si A' et B' sont les images respectives de A et B par une rotation, alors A'B' = AB.

2.3. Image d'un triangle

Sur la figure 7, on a construit l'image d'un triangle ABC par une rotation de centre O et d'angle 120°. Pour cela, on a construit les images respectives A', B' et C' de A, B et C par cette rotation.

Nous admettrons que le triangle A'B'C' est l'image du triangle ABC par la rotation de centre O et d'angle 120°. On constate que les angles et ont la même mesure.

Nous admettrons cette propriété générale des rotations : une rotation conserve les angles, c'est-à-dire que, si A', B' et C' sont les images respectives de trois points distincts A, B et C par une rotation, alors .

2.4. Image d'une figure quelconque

Les propriétés d'une rotation que nous avons mentionnées ci-dessus nous permettent de dire que l'image d'une figure par une rotation est une figure de même nature géométrique et de mêmes dimensions.

Par exemple, l'image d'un cercle par une rotation est un cercle de même rayon, l'image d'un carré par une rotation est un carré de même côté.

3. Figures invariantes par rotation

La figure 8 représente un carré ABCD de centre O.

Nous allons construire l'image de ce carré par la rotation de centre O et d'angle 90°. Pour cela, on construit les images des points A, B, C et D par cette rotation.

On constate alors que : A a pour image D, B a pour image A, C a pour image B et D a pour image C.

Par conséquent, l'image du carré ABCD par cette rotation est le carré ABCD lui-même. On dit que ce carré est invariant par cette rotation.

Remarque : tout polygone régulier à n côtés de centre O est invariant par une rotation de

centre O et d'angle  .