Construire l'image d'un point par une translation

Si on décalque une figure en la faisant glisser le long d'une droite d, on dit que la figure ainsi obtenue est l'image de la figure initiale par une translation.

Comment définir précisément cette transformation du plan ?

1. Qu'est-ce qu'une translation ?

Une translation est définie par un point et son image.

1.1. Définition

Soit A et B deux points distincts du plan et soit M un autre point du plan. L'image du point M par la translation qui transforme le point A en B est le point M' tel que ABM'M est un parallélogramme (éventuellement aplati si les points A, B et M sont alignés).

Sur ce schéma, M a pour image M' et N a pour image N'. La flèche précise que A a pour image B.

Remarque : il faut bien faire attention à l'ordre des lettres (si ABM'M est un parallélogramme, alors ABMM' n'est pas en général un parallélogramme).

1.2. Propriétés

Si M' est l'image de M par la translation qui transforme A en B, alors :

MM' = AB ;

les droites (AB) et (MM') sont parallèles ;

les demi-droites [AB) et [MM') ont le même sens ;

les segments [BM] et [AM'] ont le même milieu.

2. Construire l'image d'un point avec la règle et le compas

Soit une translation définie par un point A et son image B . On veut construire l'image d'un point M.

2.1. Le point M n'appartient pas à la droite (AB)

Soit M un point n'appartenant pas à la droite (AB). Construisons l'image M' de M par cette translation.

Le problème revient à construire le point M' tel que ABM'M est un parallélogramme. La figure 2 rappelle cette construction.

2.2. Le point M se trouve sur la droite (AB)

Soit M un point appartenant à la droite (AB). Construisons l'image M' de M par cette translation
Le point M' est le point de la droite (AB) tel que les longueurs AB et MM' sont égales et les demi-droites [AB) et [MM') ont le même sens. La figure 3 montre les étapes de la construction.