Construire différents polygones réguliers

Qu'est-ce qu'un polygone régulier ? La réponse spontanée est : un polygone dont tous les côtés ont la même longueur ; cependant il existe des polygones non réguliers dont tous les côtés sont de la même longueur.

Quelle est donc la définition d'un polygone régulier ? Et quelles propriétés utilise-t-on pour construire un pentagone, un hexagone ou un octogone régulier ?

1. Définition

Un polygone régulier est un polygone dont tous les côtés ont la même longueur et dont tous les angles ont la même mesure.

Cinq polygones réguliers sont représentés sur la figure 1.

Pour tout polygone régulier, il existe un cercle passant par tous ses sommets appelé cercle circonscrit au polygone. Le centre de ce cercle est appelé centre du polygone.

2. Exemples de construction

2.1. Construction d'un pentagone à partir d'un cercle circonscrit

Propriété utilisée : soit un polygone régulier de centre O. Tous les angles au centre définis par deux rayons du cercle circonscrit joignant O à deux sommets consécutifs du polygone ont la

même mesure. Si le polygone a n côtés, cette mesure, exprimée en degrés, est égale à .

Exemple : le pentagone a 5 côtés, la mesure de chaque angle au centre est donc : .

La figure 2 montre les étapes de la construction du pentagone.

2.2. Construction d'un octogone à partir d'un côté

Propriété utilisée : A, B et C étant trois sommets consécutifs d'un polygone de centre O, l'angle  du polygone et l'angle au centre sont supplémentaires. De plus, la demi-droite [BO] est la bissectrice de l'angle  .

Exemple : construisons un octogone régulier dont un côté [AB] est donné.

L'octogone a 8 côtés, la mesure de chaque angle au centre est donc : .

D'après la propriété ci-dessus, chaque angle de l'octogone mesure donc 180 – 45 = 135°.

On en déduit que chaque demi-angle au sommet mesure .

À partir du côté [AB], on va construire un triangle isocèle ABO tel que .

Le point O obtenu est le centre de l'octogone.

La figure 3 montre les étapes de la construction de l'octogone.

Remarque : on aurait aussi pu construire successivement les côtés de l'octogone sans tracer le cercle puisqu'on sait que chaque angle de l'octogone mesure 135°, mais cette construction est plus longue que la précédente.

2.3. Construction d'un hexagone régulier au compas

L'hexagone ayant 6 côtés, chaque angle au centre mesure .

Chaque angle de l'hexagone mesure donc 180 – 60 = 120°.

On en déduit que chaque demi-angle au sommet mesure .

Donc chaque triangle formé par le centre et deux sommets consécutifs est équilatéral, ce qui justifie la construction d'un hexagone régulier à partir de son cercle circonscrit : on reporte 6 fois le rayon sur le cercle.