Composer deux symétries centrales

La figure 1 illustre la composition de deux symétries centrales de centres O et O'.

Quel est donc l'effet de deux symétries centrales successives sur une figure ?

En quoi le résultat final est-il lié aux translations ?

1. Étude d'un exemple

Soit O et O' deux points distincts du plan. Soit A, B et C trois points distincts du plan, que nous supposerons non alignés pour éviter un cas particulier.

Construisons les points A', B' et C', images respectives de A, B et C, par la symétrie centrale de centre O.

Construisons ensuite les points A'', B'' et C'', images respectives de A', B' et C', par la symétrie centrale de centre O'.

On dit que les points A'', B'' et C'' sont les images respectives de A, B et C par la composée de la symétrie centrale de centre O et de la symétrie centrale de centre O'.

Traçons les vecteurs  , et  : on constate qu'ils sont égaux. Cela signifie qu'il existe une translation qui transforme A en A'', B en B'' et C en C''.

Précisons un peu plus : en traçant le vecteur , on constate que les vecteurs  et ont la même direction et le même sens, et que la longueur du vecteur  est le double de la longueur du vecteur   ; on écrira .

En résumé : on constate que A'', B'' et C'' sont les images respectives de A, B et C par la translation de vecteur  . On traduit cela en disant que la composée de la symétrie centrale de centre O et de la symétrie centrale de centre O' est la translation de vecteur  .

2. Propriété et démonstration

Propriété : la composée de la symétrie centrale de centre O et de la symétrie centrale de centre O' est la translation de vecteur  .

Démonstration : soit O et O' deux points distincts du plan et A un point du plan.

Construisons le point A' image de A par la symétrie centrale de centre O.

Construisons ensuite le point A'' image de A' par la symétrie centrale de centre O'.

Le point A'' est donc l'image du point A par la composée de la symétrie centrale de centre O et de la symétrie centrale de centre O'.

Par définition de la symétrie centrale, O est le milieu de [AA'] et O' est le milieu de [A'A''].
Par suite, la droite (OO') est une droite des milieux dans le triangle AA'A''.

En appliquant la propriété de la droite des milieux (vue en quatrième), on en déduit que les

droites (OO') et (AA'') sont parallèles et que .

Les vecteurs et ont la même direction et le même sens, et de plus AA'' = 2 OO'.

Cela se traduit, comme il a été expliqué dans le paragraphe 1, par l'égalité vectorielle  .

Cette égalité vectorielle signifie que A'' est l'image de A par la translation de vecteur  .

On a donc démontré que le point A'', image du point A par la composée de la symétrie centrale de centre O et de la symétrie centrale de centre O', est l'image de A par la translation de vecteur  , ce qui était le résultat à établir.

3. Application

Énoncé : soit I et J deux points distincts et ABCD un quadrilatère du plan. Construire l'image du quadrilatère ABCD par la composée de la symétrie centrale de centre I et de la symétrie centrale de centre J.

Résolution : on sait que la composée de la symétrie centrale de centre I et de la symétrie centrale de centre J est la translation de vecteur  .

On construit donc les points A', B', C' et D', images respectives de A, B, C et D par cette translation.

Les points A', B', C' et D' sont définis par les égalités : .