Caractériser le triangle rectangle par son inscription dans le cercle

On sait que tout triangle peut être inscrit dans un cercle dont le centre est le point de concours des médiatrices. Ce cercle est le cercle circonscrit au triangle.

Que se passe-t-il dans le cas particulier du triangle rectangle ?

1. Utiliser une propriété du triangle rectangle

1.1. Plusieurs formulations pour une même propriété

Si un triangle est rectangle, alors il peut être inscrit dans un cercle ayant pour diamètre son hypoténuse.

Autres formulations :

dans un triangle rectangle, le milieu de l'hypoténuse est le centre du cercle circonscrit à ce triangle ;

le milieu de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est équidistant des trois sommets.

1.2. Exemple d'application

Énoncé : on a dessiné deux triangles rectangles ayant un côté commun. Le triangle ABC rectangle en C et le triangle ABD rectangle en D. Le point I est le milieu de [AB]. Le triangle ICD est-il isocèle ?

Résolution : le triangle ABC est rectangle en C. Il peut donc être inscrit dans le cercle de diamètre [AB] ; le segment [IC] est donc un rayon de ce cercle. Pour la même raison, [ID] est également un rayon du même cercle.

On a donc IC = ID. Le triangle ICD est bien isocèle de sommet A.

2. Démontrer qu'un triangle est rectangle

2.1. La propriété réciproque

Si un triangle ABC est inscrit dans un cercle de diamètre [BC], alors ABC est rectangle en A.

Remarque : cette propriété est la réciproque de celle vue dans le paragraphe 1.

Autres formulations :

si le cercle circonscrit à un triangle ABC a pour diamètre le côté [BC], alors ABC est rectangle en A ;

si dans un triangle ABC, le milieu de [BC] est équidistant des trois sommets, alors ABC est rectangle en A.

2.2. Exemple d'application

Énoncé : ABC est un triangle non rectangle. Le cercle de diamètre [BC] recoupe la droite (AB) en I et la droite (AC) en J. On va démontrer que les droites (CI) et (BJ) sont des hauteurs du triangle ABC.

Résolution : le triangle BCI est inscrit dans le cercle de diamètre [BC]. Il est donc rectangle en I. La droite (CI) passe par le point C et est perpendiculaire à la droite (AB) ; c'est donc une hauteur du triangle ABC.

En considérant le triangle BCJ, on démontre de la même façon que (BJ) est également une hauteur du triangle ABC.

On vient de démontrer que dans un triangle, deux sommets et les pieds des hauteurs issues de ces sommets sont cocycliques (cela veut dire qu'ils se trouvent sur un même cercle).