Caractériser et construire un triangle isocèle, un triangle équilatéral

Les triangles isocèles et équilatéraux sont des triangles particuliers qui présentent respectivement deux et trois côtés égaux. Quelles sont les propriétés de ces figures et comment peut-on les tracer ?

1. Les triangles équilatéraux

1.1. Définition

Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés ont la même longueur.

Le triangle 2 de la figure ci-dessous est donc un triangle équilatéral.

1.2. Propriétés

Tout triangle équilatéral a trois axes de symétrie ; réciproquement, si un triangle a trois axes de symétrie, alors ce triangle est équilatéral.

Dans un triangle équilatéral, chaque angle mesure 60° ; réciproquement, si dans un triangle chaque angle mesure 60°, alors ce triangle est équilatéral.

1.3. Construction

On veut construire un triangle équilatéral avec la règle et le compas. La série de figures ci-dessous montre les étapes de la construction ; l'écartement du compas représente la longueur du côté.

2. Les triangles isocèles

2.1. Définition

Un triangle isocèle est un triangle qui a au moins deux côtés de la même longueur.

Remarque : si un triangle est équilatéral, alors ce triangle est isocèle (mais il existe des triangles isocèles qui ne sont pas équilatéraux).

2.2. Propriétés

Tout triangle isocèle a au moins un axe de symétrie ; réciproquement, si un triangle a un axe de symétrie, alors ce triangle est isocèle.

Dans un triangle isocèle, deux angles au moins ont la même mesure ; réciproquement, si dans un triangle deux angles au moins ont la même mesure, alors ce triangle est isocèle.

2.3. Construction

On veut ici construire un triangle isocèle non équilatéral. La différence avec la construction précédente est que les écartements de compas des étapes 2 et 3 sont égaux, mais ne sont pas égaux à AB.