Calculer les coordonnées d'un vecteur et celles du milieu d'un segment

Les coordonnées d'un vecteur  peuvent s'interpréter par une translation lorsqu'on a choisi un représentant  de ce vecteur. Par quelle relation les coordonnées de et celles de A et de B sont-elles liées ? Comment, à partir de cette relation, peut-on calculer les coordonnées du milieu d'un segment connaissant celles de ses extrémités ?

1. Calculer les coordonnées d'un vecteur

1.1. Formule de calcul

Soit (O, I, J) un repère du plan, et soit A(xA ; yA) et B(xB ; yB) deux points.

Les coordonnées du vecteur  sont données par la formule : (xB- xA ; yB- yA).

Exemple : soit (O, I, J) un repère du plan et soit A(2 ; –4), B(–3 ; –1) deux points.

Calculer les coordonnées du vecteur  .

L'application de la formule permet d'écrire : (-3-2 ;-1-(-4)), soit (-5 ;3).

On peut vérifier ces coordonnées par lecture graphique en plaçant les points A et B :

1.2. Application

Énoncé : soit (O, I, J) un repère du plan. Placer les points E(–3 ; 1), F(3 ; 5), G(4 ; 2) et H(–2 ; –2), et démontrer que le quadrilatère EFGH est un parallélogramme.

Résolution : il suffit de démontrer l'égalité vectorielle =  . Pour cela, calculons les coordonnées de ces deux vecteurs.

(3-(-3) ;5-1), soit (6 ;4).

(4-2(-2) ;2-(-2)), soit (6 ;4).

Les vecteurs  et ont les mêmes coordonnées.

On admettra que deux vecteurs ayant les mêmes coordonnées sont égaux.

On en déduit donc que =   ; par conséquent, le quadrilatère EFGH est un parallélogramme.

2. Calculer les coordonnées du milieu d'un segment

2.1. Formule de calcul

Soit (O, I, J) un repère du plan et soit A(xA ; yA), B(xB ; yB) deux points. Si M est le milieu du

segment [AB], alors .

Démonstration : si M est le milieu de [AB], alors = . En effet, les vecteurs et ont même direction, car A, M et B sont alignés, ils ont le même sens, et ils ont la même longueur puisque MA = MB. Ces deux vecteurs sont donc égaux.

Appelons (x ; y) les coordonnées de M, et exprimons les coordonnées de et de  :

(x – xA ; y – yA) et (xB – x ; yB– y).

Puisque les vecteurs  et sont égaux, on peut écrire que leurs coordonnées sont égales. On obtient alors : x – xA = xB – x et y – yA = yB – y.

Ces deux équations équivalent successivement à :

2x = xA + xB et 2y = yA + yB, soit et .

On a donc bien .

Exemple : soit (O, I, J) un repère du plan, et U(–3 ; 2) et T(5 ; 4) deux points. Calculer les coordonnées du milieu H du segment [UT].

L'application de la formule ci-dessus permet d'écrire : , d'où H(1 ; 3).

On peut vérifier ce calcul en plaçant les points dans le repère (O, I, J).

2.2. Application

La formule donnant les coordonnées du milieu d'un segment nous fournit une autre manière de démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme.

Énoncé : soit (O, I, J) un repère du plan. Placer les points K(–4 ; –1), L(–2 ; 3), M(6 ; 5) et N(4 ; 1), et démontrer que le quadrilatère KLMN est un parallélogramme.

Résolution : nous allons démontrer que les segments [KM] et [LN] ont le même milieu. Pour cela, appelons P le milieu de [KM] et R celui de [LN] et calculons les coordonnées de ces deux points :

, soit P(1 ; 2).

, soit R(1 ; 2).

Les points P et R ayant les mêmes coordonnées, ils sont confondus. On en déduit que les segments [KM] et [LN] ont le même milieu.

Les diagonales du quadrilatère KLMN ont le même milieu ; ce quadrilatère est donc un parallélogramme.