Calculer le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle dans un triangle rectangle

Le mot trigonométrie vient du grec et signifie « mesure du triangle ». Le cosinus, le sinus et la tangente sont trois rapports trigonométriques.

Comment peut-on calculer ces rapports et quelles sont leurs propriétés ?

1. Définitions

Étant donné un triangle ABC rectangle en B, considérons l'un de ses angles aigus, par exemple. Le côté [BC] est appelé côté opposé à l'angle  , le côté [AB] est appelé côté adjacent à l'angle  .

On définit alors les trois rapports suivants :

sinus (sin):

cosinus (cos) :

tangente (tan) :

Remarque : pour calculer un de ces rapports, il faut exprimer les deux longueurs dans la même unité.

Exemple : en appliquant ces définitions à l'angle  de la figure 1, on obtient :

 ;  ; .

2. Propriétés

Appliquons les définitions précédentes à l'autre angle aigu du triangle de la figure 1, à savoir .

On obtient :  ;  ; .

On constate que :  ;  ; .

Autrement dit, pour les deux angles aigus d'un triangle rectangle, on peut énoncer la propriété suivante : le sinus de l'un est égal au cosinus de l'autre et la tangente de l'un est égale à l'inverse de la tangente de l'autre.

Ou encore, puisque les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires : si deux angles (non nuls) sont complémentaires, le sinus de l'un est égal au cosinus de l'autre, et la tangente de l'un est égale à l'inverse de la tangente de l'autre.

Par exemple, sin 67° = cos 23° car un angle de 67° et un angle de 23° sont complémentaires.

3. Exemples de calcul

3.1. Exemple 1

Énoncé : l'unité de longueur étant le centimètre, soit LEM un triangle rectangle en E tel que EL = 12 et EM = 5. On veut calculer les valeurs exactes de , et .

Résolution : pour calculer les valeurs exactes de et , on doit calculer la longueur de l'hypoténuse du triangle, à savoir ML. Ce triangle étant rectangle en E, on peut appliquer la propriété de Pythagore :

LM² = EL² + EM², soit LM² = 12² + 5², d'où LM² = 169, donc LM =   = 13.

Par définition, , donc .

De même, , donc .

Enfin, , donc .

Remarque : avec une calculatrice, il est ensuite possible d'obtenir une valeur approchée de ,

par exemple à partir de en tapant : ou bien .

3.2. Exemple 2

Énoncé : soit PHR un triangle rectangle en P tel que HP = PR = 1 cm. Ce triangle étant isocèle et rectangle, on sait que . On veut calculer les valeurs exactes du sinus, du cosinus et de la tangente de ces angles de 45°.

Résolution : par définition, .

Calculons la valeur exacte de HR, en appliquant la propriété de Pythagore dans le triangle rectangle HPR :

HR² = HP² + PR², soit HR² = 1² + 1², donc HR² = 2, d'où .

On en déduit que d'où .

D'après les propriétés précédentes citées dans le paragraphe 2, les deux angles et étant

complémentaires et de mesure 45°, on en déduit que et donc que .

Par définition, , donc . On en déduit que .

En résumé : et .