Calculer la moyenne d'une série statistique

« J'ai la moyenne en anglais. » « Le professeur a dit que j'avais 12,5 de moyenne. »

Dans ces deux phrases, le mot moyenne n'a pas le même sens. Dans la seconde phrase, 12,5 est le résultat d'un calcul, sans doute la somme de toutes les notes obtenues en anglais divisée par le nombre de notes, alors qu'« avoir la moyenne » signifie que le résultat du calcul précédent est supérieur à 10.

Il existe plusieurs manières de calculer une moyenne. Quelles sont-elles ?

1. Calculer une moyenne pondérée

1.1. Exemple

On a noté dans un magasin la puissance en watts des six lave-vaisselle en vente. On a reporté les résultats dans le tableau suivant :

Quelle est la puissance moyenne d'un lave-vaisselle de ce magasin ?

Première méthode : soit m cette moyenne.

On a : .

La puissance moyenne d'un lave-vaisselle de ce magasin est de 3 150 watts.

Seconde méthode : on dresse un nouveau tableau dans lequel on note le nombre de lave-vaisselle ayant une puissance donnée :

On fait la moyenne des puissances en tenant compte de leur effectif :

On remarque qu'on trouve le même résultat. Cette seconde façon de procéder consiste à « calculer une moyenne pondérée par les effectifs ».

1.2. Méthode

Pour calculer la moyenne pondérée d'une série statistique :

on multiplie chaque valeur par l'effectif correspondant ;

on additionne tous les produits obtenus ;

on divise cette somme par l'effectif total.

1.3. Cas où les données sont regroupées par classes

Lors du brevet blanc, les notes des élèves d'un collège ont été regroupées par classes d'amplitude 5. On a obtenu le tableau suivant :

En principe, on ne peut pas calculer la moyenne des notes puisqu'on ne les connaît pas exactement. On peut cependant en avoir une approximation : pour cela, on admet que toutes les notes d'une même classe se trouvent au milieu de l'intervalle.

En statistique, le milieu de l'intervalle est appelé le centre de la classe.

Dressons un nouveau tableau où l'on fait apparaître le centre de chaque classe :

On calcule ensuite la moyenne des centres, pondérée par les effectifs des classes. L'effectif total étant de 92 (13 + 27 + 31 + 21 = 92), on trouve :

La moyenne est donc de l'ordre de 10,8.

2. Calculer une « moyenne de moyennes »

Voici les notes d'un élève rangées par trimestre et ses moyennes trimestrielles :

Moyenne du premier trimestre : .

Moyenne du deuxième trimestre : .

Moyenne du troisième trimestre : .

Calculons la moyenne M de cet élève :

Calculons la moyenne M' des moyennes trimestrielles :

On voit qu'on n'obtient pas le même résultat. Parler de la moyenne de cet élève n'a de sens que si l'on précise comment on la calcule.