Calculer la distance entre deux points

Lorsqu'on repère des points du plan à l'aide d'un repère orthonormé, il est possible de calculer la distance entre deux points du plan dont on connaît les coordonnées.

Comment peut-on calculer cette distance ? Quelles sont les applications possibles de ce calcul ?

1. La formule

Rappelons qu'un repère (O, I, J) du plan est dit orthonormé si (OI) est perpendiculaire à (OJ) et si OI = OJ.

Soit (O, I, J) un repère orthonormé du plan, et A (x ; y) et B (x' ; y') deux points du plan.

La distance AB est donnée par la formule : .

2. Exemples d'application

2.1. Déterminer la nature d'un quadrilatère

Plaçons les points A (-2 ; -3), B (-1 ; 3), C (4 ; -2) et D (5 ; 4) dans un repère orthonormé du plan (O, I, J), l'unité étant le centimètre.

Démontrons que le quadrilatère ACDB est un losange. Pour cela, calculons la longueur de chacun de ses côtés. En appliquant la formule, on a :

On a donc AC = CD = DB = BA : le quadrilatère ACDB a 4 côtés de même longueur, par conséquent c'est un losange.

2.2. Déterminer la nature d'un triangle

Plaçons les points A (2 ; -5), B (0 ; 3) et C (-3 ; 0) dans un repère orthonormé du plan (O, I, J), l'unité étant le centimètre.

Démontrons que le triangle ACB est rectangle. Pour cela, calculons la longueur de chacun de ses côtés. En appliquant la formule, on a :

Comparons BA² et CB² + AC².

et .

On a BA² = CB² + AC², donc le triangle ACB est rectangle en C d'après la réciproque de la propriété de Pythagore.

2.3. Démontrer qu'un point est sur un cercle

Plaçons les points H (-1, 2) et M (3, 5) dans un repère orthonormé du plan (O, I, J), l'unité étant le centimètre. On veut montrer que M est sur un cercle de centre H et de rayon 5.

Calculons la distance MH. En appliquant la formule on obtient :

.

On a MH = 5, donc M est sur le cercle de centre H et de rayon 5.

2.4. Démontrer qu'un point est sur la médiatrice d'un segment

Plaçons les points E (0, 2), F (3, -1) et B (-1, -2) dans un repère orthonormé du plan (O, I, J), l'unité étant le centimètre.

Calculons EB et FB :

.

On a EB = FB, autrement dit est équidistant de E et F, ce qui prouve que B est sur la médiatrice de [EF].