Calculer l'aire ou le volume d'un objet agrandi ou réduit

Agrandissements et réductions sont couramment utilisés dans de nombreuses disciplines, par exemple : les agrandissements sont utilisés en biologie pour représenter des micro-organismes ; les réductions sont utilisées en géographie pour établir des cartes.

Comment agissent une réduction ou un agrandissement sur l'aire ou le volume d'un objet ?

1. Effet d'un agrandissement ou d'une réduction sur l'aire ou le volume d'un objet

1.1. Définition

Si on multiplie toutes les dimensions d'un objet par un nombre k strictement positif, on dit qu'on a effectué :

un agrandissement de rapport k si k > 1 ;

une réduction de rapport k si k < 1.

Exemple : un modèle réduit à l'échelle d'une voiture est une réduction de rapport de cette voiture.

Remarque : si une figure F est une réduction de rapport k d'une figure F', alors la figure F' est un

agrandissement de rapport de la figure F.

2. Propriétés

Propriété 1 : en agrandissant ou en réduisant une figure ou un objet, on obtient une figure ou un objet de même nature géométrique.

Ainsi, en réduisant ou en agrandissant un carré, on obtient un carré. En réduisant ou en agrandissant un cylindre de révolution, on obtient un cylindre de révolution.

Propriété 2 : dans un agrandissement ou une réduction de rapport k :

l'aire d'une surface est multipliée par k² ;

le volume d'un solide est multiplié par k3.

2. Exemples d'application

2.1. Exemple 1

Énoncé : on considère une carte de France à l'échelle  ; on veut calculer l'aire en dm² de la figure représentant la France sur cette carte, sachant que l'aire de la France est à peu près égale à 550 000 km².

Résolution : la carte représente une réduction de rapport , soit 10–6. L'aire de la France est donc multipliée par (10–6)², soit 10–12.

Or 550 000 km² = 5,5 × 105 km² = 5,5 × 105 × 108 dm² = 5,5 × 1013 dm².

L'aire de la figure représentant la France sur la carte est donc : 5,5 × 1013 × 10–12 = 5,5 × 10, soit 55 dm².

2.2. Exemple 2

Énoncé : on coupe une pyramide par un plan parallèle à sa base. La distance de ce plan à la

base est égale à de la hauteur de la pyramide.

La petite pyramide ainsi obtenue a un volume de 18 cm3. On veut calculer le volume de la pyramide de départ.

Résolution : On sait qu'en coupant une pyramide par un plan parallèle à sa base, on obtient une petite pyramide qui est une réduction de la grande ; calculons le rapport de réduction.

Puisque ,  ; par conséquent le rapport de réduction est égal à .

La grande pyramide est donc un agrandissement de la petite de rapport 3.

Par suite, le volume de la grande pyramide est égal à : 18 × 33 = 18 × 27, soit 486 cm3.

2.3. Exemple 3

Énoncé : On augmente le rayon d'une sphère de 10 % ; la sphère ainsi obtenue est un agrandissement de la sphère initiale. Quel est le pourcentage d'augmentation de l'aire de la sphère au cours de cet agrandissement ?

Résolution : Appelons r le rayon de la petite sphère et R celui de la grande.

On a : , soit R = 1,1 × r ; autrement dit, le rapport d'agrandissement est égal à 1,1.

L'aire de la sphère est donc multipliée par (1,1)², soit 1,21.

Appelons a l'aire de la petite sphère et A celle de la grande, on a donc : A = 1,21a, soit :

.

L'aire de la sphère a donc augmenté de 21 %.