Calculer l'aire d'une sphère et le volume d'une boule

Imaginons que nous voulions recouvrir une orange de papier. Comment découper une feuille de papier aux bonnes dimensions ? Pour résoudre ce problème, il faut connaître la surface de l'orange que l'on supposera sphérique. Or dans ce calcul n'intervient qu'une seule dimension : le rayon de la sphère. Il suffit donc de mesurer le diamètre de l'orange et de le diviser par deux avant d'appliquer la formule.

1. L'aire d'une sphère

1.1. La formule

L'aire d'une sphère de rayon r est donnée par la formule suivante : .

Remarques :

Pour pouvoir appliquer cette formule, A et r doivent être exprimés avec des unités correspondantes ; par exemple le cm2 pour a et le cm pour r.

Cette formule contient le nombre  , qui n'est ni un nombre décimal ni une fraction. Par conséquent, le calcul de l'aire d'une sphère ne pourra pas, en général, aboutir à un résultat exact sous forme décimale ; il contiendra le nombre  .

1.2. Exemple

Énoncé : cherchons l'aire d'une balle de tennis de table sachant qu'elle a la forme d'une sphère de 38 mm de diamètre. Nous donnerons d'abord la valeur exacte, puis une valeur approchée de cette aire à 1 mm2 près.

Résolution : on calcule d'abord le rayon de la balle, qui est égal à la moitié de son diamètre,

soit 19 mm ( ).

4  × 192 = 1 444  ; l'aire exacte de la balle est donc A = 1 444  mm2.

À l'aide d'une calculatrice, on en déduit une valeur approchée à 1 mm2 près : A   4 536 mm2. Ainsi, si on veut envelopper une balle de tennis de table, il faut une surface de papier dont l'aire soit au moins égale à 50 cm2 (on prévoit un peu plus de papier en raison des plis).

2. Le volume d'une boule

2.1. La formule

Le volume V d'une boule de rayon r est donné par la formule suivante : V =  r3.

Remarques :

Pour appliquer cette formule, r et V doivent être exprimés dans des unités correspondantes : r en cm et V en cm3, par exemple.

Comme pour l'aire de la sphère, le résultat exact du calcul du volume d'une boule contient en général le nombre  .

2.2. Exemples

Énoncé 1 : on veut savoir combien de litres d'air contient un ballon de football dont le rayon est égal à 11 cm. (On suppose que ce ballon est parfaitement sphérique.)

Résolution : la mesure exacte en cm3 du volume est égale à × 113, c'est-à-dire × 1 331, ou

encore .

À l'aide d'une calculatrice, on en déduit : V 5 575 cm3, d'où V 5,575 litres. (Rappel : 1 cm3 = 1 ml.)

Énoncé 2 : si on assimile la Terre à une boule de rayon 6 400 km environ, on peut en trouver un volume approximatif.

Résolution : le calcul × × 6 4003 conduit à environ 1 100 milliards de km3.