Appliquer la réciproque du théorème de Thalès

Le théorème de Thalès s'énonce ainsi : si deux droites sont parallèles (hypothèse), alors certains rapports sont égaux (conclusion). La réciproque de ce théorème s'énonce ainsi : si certains rapports sont égaux (hypothèse), alors deux droites sont parallèles (conclusion).

Que peut-on démontrer à l'aide de cette réciproque ?

1. La réciproque du théorème de Thalès

Soit d et d' deux droites sécantes en A. On suppose que B et M sont deux points de d distincts de A, et que C et N sont deux points de d' distincts de A.

Si les points A, M, B sont alignés dans le même ordre que les points A, N, C et si , alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

Remarques :

seuls deux rapports égaux interviennent dans l'hypothèse de la réciproque du théorème de Thalès : ce sont les rapports des longueurs des côtés portés par les deux droites sécantes ;

l'ordre d'alignement des points est très important. On peut le vérifier sur la figure 1. L'unité de longueur étant le centimètre, on donne : AM = 1, AB = 3, AN = 2 et AC = 6.

On a donc et , d'où .

Les points de la droite d sont alignés dans l'ordre A, M, B, tandis que les points de la droite d' sont alignés dans l'ordre N, A, C au lieu de A, N, C. L'hypothèse de l'ordre d'alignement n'est donc pas vérifiée, et on constate que les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles.

2. Applications

La réciproque du théorème de Thalès s'applique dans les deux « situations de Thalès ». Nous donnerons ci-dessous un exemple pour chaque situation.

2.1. Exemple 1

Énoncé : sur la figure 2 où l'unité de longueur est le centimètre, on donne EP = 2 ; ER = 6,4 ; EG = 3 et EH = 9,6. On veut démontrer que les droites (PG) et (RH) sont parallèles.

Résolution : les points E, P, R sont alignés dans le même ordre que E, G, H. Comparons les

rapports et .

et . On a donc .

En appliquant la réciproque du théorème de Thalès, on en déduit que les droites (PG) et (RH) sont parallèles.

2.2. Exemple 2

Énoncé : sur la figure 3 où l'unité de longueur est le centimètre, on donne IJ = 3 ; IL = 3,6 ; IM = 8,4 et IK = 7.

On veut démontrer que les droites (JL) et (MK) sont parallèles.

Résolution : les points M, I, L sont alignés dans le même ordre que K, I, J. Comparons les

rapports et .

et . On a donc .

En appliquant la réciproque du théorème de Thalès, on en déduit que les droites (JL) et (MK) sont parallèles.