Représenter graphiquement une fonction linéaire

Toute fonction linéaire correspond à une situation de proportionnalité.

Comment représenter graphiquement une fonction linéaire, c'est-à-dire comment faire un graphique de proportionnalité ?

1. Représenter graphiquement une fonction linéaire

1.1. Exemple d'introduction

Représentons graphiquement la fonction linéaire x   2x.

Pour cela, on choisit un repère (O, I, J) du plan ; on porte ensuite une valeur de x en abscisse, et on porte en ordonnée l'image correspondante, ce qui fournit un point.

Ainsi, si x = 1, on a : 1   2, ce qui fournit le point de coordonnées (1 ; 2).

On choisit ainsi arbitrairement quelques valeurs de x dont on calcule l'image.

Pour simplifier la présentation, il est commode d'utiliser un tableau comme celui figurant ci-dessous :

En plaçant ces points, on obtient le graphique de la figure 1.

On constate que les points A, B, C et D sont alignés sur une droite passant par l'origine du repère.

Nous admettrons que tous les autres points que l'on aurait pu placer seraient également situés sur cette droite : on dit que cette droite est la représentation graphique de la fonction linéaire x   2x.

1.2. Propriétés

La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère.

On dit que la représentation graphique de la fonction linéaire x   ax est la droite d'équation y = ax.

Le coefficient a de la fonction linéaire est appelé coefficient directeur de la droite.

Exemple : la représentation graphique de la fonction linéaire x   3x est la droite d'équation y = 3x. Cette équation donne une relation vérifiée par les coordonnées x et y de tout point de la droite. Pour tracer cette droite, on place des points dont les coordonnées sont (x ; y) en donnant des valeurs arbitraires à x.

Remarque : si la représentation graphique d'une fonction linéaire passe toujours par l'origine du repère, cela tient au fait que l'image de 0 par toute fonction linéaire est 0. Le point correspondant est donc le point de coordonnées (0 ; 0), c'est-à-dire l'origine du repère.

1.3. Exemples d'application

Nous savons que toute fonction linéaire est représentée graphiquement par une droite passant par l'origine du repère : il suffit donc de déterminer un point de la droite différent de l'origine pour pouvoir la tracer.

Exemple 1 : on veut représenter graphiquement la fonction linéaire 

x   –3x.

On détermine un point en choisissant une valeur de x. Par exemple pour x = 1, on obtient 1   –3, ce qui fournit le point A(1 ; –3).

La représentation graphique est donc la droite passant par A et par l'origine du repère.

Exemple 2 : on veut représenter graphiquement la fonction linéaire

, puis déterminer ensuite, par lecture graphique, les images des nombres –4 et 6.

Pour tracer la droite, choisissons x = 4. On obtient , soit , ce qui fournit le point B(4 ; 2).

Pour déterminer graphiquement l'image de –4, il suffit de déterminer le point de la droite dont l'abscisse est –4 et de lire son ordonnée. On obtient .

De même, on obtient par lecture graphique .

2. Interpréter graphiquement le coefficient directeur

Représentons graphiquement sur le même dessin les quatre fonctions linéaires suivantes :

 ;  ;  ; .

Appelons D1 la droite représentant la fonction  ; pour x = 1, on obtient , ce qui fournit le point A(1 ; –4) de D1.

Appelons D2 la droite représentant la fonction  ; pour x = –4, on obtient , ce qui fournit le point B (–4 ; 2) de D2.

Appelons D3 la droite représentant la fonction  ; pour x = 5, on obtient , ce qui fournit le point C(5 ; 1) de D3.

Appelons D4 la droite représentant la fonction  ; pour x = 2, on obtient , ce qui fournit le point D(2 ; 6) de D4.

Observons la figure obtenue :

Les coefficients directeurs des quatre droites sont : –4 pour la droite D1 ; pour la droite D2 ; 0,2 pour la droite D3 ; 3 pour la droite D4.

En observant ce graphique, on constate que :

D1 et D2, qui ont un coefficient directeur négatif, sont des droites « qui descendent » dans le sens des x croissants alors que D3 et D4, qui ont un coefficient directeur positif, sont des droites « qui montent » dans le sens des x croissants.

D1 est plus inclinée que D2 (or le coefficient directeur de D1 (–4) est inférieur à celui de D2

) ; de manière analogue, D4 est plus inclinée que D3 (or le coefficient directeur de D4 (3) est supérieur à celui de D2 (0,2)).

Conclusion : le coefficient directeur permet de distinguer les droites « montantes » des droites « descendantes » dans le sens des x croissants, ainsi que de comparer les « pentes » de différentes droites.