Reconnaître une fonction linéaire

La notion de fonction est très importante en mathématiques comme dans d'autres disciplines.

Le mot apparaît souvent dans des expressions telles que « calculer le périmètre d'un carré en fonction de la longueur de son côté » ou encore « la distance de freinage varie en fonction du carré de la vitesse ».

Les fonctions linéaires sont des fonctions d'un type particulier, que l'on rencontre dans de nombreuses situations. À quoi correspondent-elles ?

1. Exemple

Dans son magasin, une boulangère s'est fabriqué un petit tableau donnant le prix à payer par le client en fonction du nombre de baguettes qu'il achète.

Voici un extrait de ce tableau :

Nombre de baguettes

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

Prix à payer (en €)

0,32

0,64

0,96

1,28

1,6

1,92

2,24

2,56

Ce tableau fournit la correspondance entre le nombre de baguettes achetées et le prix à payer. On dit que le prix à payer est fonction du nombre de baguettes achetées.

Ainsi, pour deux baguettes et demie achetées, le prix à payer est égal à 1,6 €. Cette correspondance sera notée de la manière suivante :

Il est facile de voir que, le prix d'une baguette étant égal à 0,64 €, il suffit de multiplier le nombre de baguettes achetées par 0,64 pour obtenir le prix à payer.

En appelant x le nombre de baguettes achetées, le prix à payer est donc égal à 0,64x.

Avec la notation introduite précédemment, on peut écrire : .

Cette dernière écriture détermine entièrement la fonction représentée par le tableau ci-dessus.

En effet, on peut vérifier qu'en remplaçant x par un nombre quelconque de la première ligne du tableau, on obtient bien le nombre correspondant de la deuxième ligne. Ainsi, pour x = 3, on obtient , soit .

Cette écriture permet aussi de calculer le prix d'un nombre de baguettes ne figurant pas dans le tableau. Ainsi, pour x = 7, on obtient , soit . Autrement dit : 7 baguettes coûtent 4,48 €.

Ce type de fonction est appelé fonction linéaire. Il correspond à une situation de proportionnalité : en effet, le tableau ci-dessus est un tableau de proportionnalité, car on passe de la première à la deuxième ligne en multipliant toujours par le même nombre, à savoir 0,64.

Ce nombre est le coefficient de proportionnalité du tableau, on l'appelle le coefficient de la fonction linéaire .

2. Définition

Soit a un nombre fixé ; la fonction qui à un nombre x fait correspondre le nombre ax est appelée fonction linéaire de coefficient a ; cette fonction est notée .

Dans la notation , le nombre ax est appelé image de x par la fonction linéaire.

Ainsi, la fonction est une fonction linéaire de coefficient 12.

Remarque : l'image de 0 par toute fonction linéaire est 0. En effet, soit une fonction linéaire. Si x = 0, alors , autrement dit , et cela quel que soit a.

Cas particulier : si a = 0, la fonction linéaire de coefficient 0 est une fonction constante appelée fonction nulle, notée : . L'image de tout nombre x par cette fonction est 0.

Autre notation : si on appelle f une fonction, on peut noter f (x) (qui se lit « f de x ») l'image de x par la fonction f.

Par exemple, si f est la fonction linéaire , alors f (x) = 4x. Au lieu d'écrire , on peut écrire f (1) = 4 pour exprimer le fait que 4 est l'image de 1 par la fonction f.

3. Questions classiques

Question 1 : déterminer les images de 14, et –6 par la fonction linéaire .

Pour x = 14, on a : , soit . L'image de 14 est –49.

Pour , on a : , soit . L'image de est .

Pour x = –6, on a : , soit . L'image de –6 est 21.

Question 2 : parmi les fonctions suivantes, dire lesquelles sont linéaires et indiquer alors leur coefficient.

 ;  ;  ;  ;  ; .

La fonction est linéaire ; son coefficient est égal à 1.

La fonction est linéaire ; son coefficient est égal à .

La fonction est linéaire ; son coefficient est égal à .

Les trois autres fonctions ne sont pas linéaires.