Reconnaître et utiliser la proportionnalité

Dans un magasin, Paul achète deux cahiers et paie 1,8 €. Laure en achète 5 et paie 4,5 €.

Le prix d'un cahier est-il toujours le même quel que soit le nombre de cahiers achetés ?

Comment reconnaître s'il y a ou non proportionnalité ?

1. Reconnaître une situation de proportionnalité

1.1. Proportionnalité et non proportionnalité

Beaucoup d'exemples de situations de proportionnalité peuvent être tirés de la vie courante. Le prix d'une baguette de pain est proportionnel au nombre de baguettes achetées. En effet, si le prix d'une baguette est de 0,98 €, le prix de deux baguettes est de 1,96 €. Le prix d'un plein d'essence est proportionnel au nombre de litres achetés. Si un litre coûte 1,23 €, dix litres coûtent 12,3 €.

Ces deux exemples décrivent une situation de proportionnalité.

En revanche, l'aire d'un carré n'est pas proportionnelle à la longueur du côté de ce carré. Un carré de 2 cm de côté a pour aire 4 cm2 et un carré de 3 cm de côté a pour aire 9 cm2. On obtient 4 en multipliant 2 par 2. Or 3 × 2 = 6 et non 9. Cet exemple décrit une situation de non proportionnalité.

Deux grandeurs sont proportionnelles si les valeurs de l'une s'obtiennent en multipliant les valeurs de l'autre par un même nombre appelé coefficient de proportionnalité.

1.2. Le tableau de proportionnalité

Un tableau de proportionnalité est un tableau dans lequel on peut passer de la première à la deuxième ligne en multipliant toujours par le même nombre (le coefficient).

Une présentation des problèmes sous forme d'un tableau permet ainsi de faire apparaître plus facilement s'il s'agit d'une situation de proportionnalité ou de non proportionnalité. On indiquera dans le tableau les unités utilisées.

En reprenant les trois exemples décrits précédemment (le prix du pain, le prix de l'essence et l'aire du carré) nous pouvons ainsi dresser les tableaux suivants :

Pour connaître le prix de deux baguettes, on multiplie 2 par 0,98. Ainsi, 0,98 est le coefficient de proportionnalité.

Pour connaître le prix de dix litres d'essence, on multiplie 10 par 1,23. Ainsi, 1,23 est le coefficient de proportionnalité.

Il n’existe pas de coefficient de proportionnalité permettant de passer de la première ligne à la seconde. Il s’agit d’une situation de non proportionnalité.

2. Exemples d'utilisation de la proportionnalité

Exemple 1 : une recette de cuisine

Les quantités d'une recette de cuisine sont souvent données pour six personnes. Comment les adapter à quatre personnes ?

Un gâteau nécessite 150 grammes de farine pour six personnes. Pour trouver la quantité nécessaire pour quatre personnes, on dresse un tableau de proportionnalité.

On a 150 ÷ 6 = 25 et 6 × 25 = 150. Le coefficient de proportionnalité est 25. On obtient alors 4 × 25 = 100. Il faut donc 100 g de farine pour quatre personnes.

Exemple 2 : un problème de durée

Une voiture roule toujours à la même vitesse. Comment calculer la distance parcourue en un temps donné ?

Une voiture parcourt 180 km en 2 h. Pour trouver la distance parcourue en 5 h, on dresse un tableau de proportionnalité.

On a 180 ÷ 2 = 90 et 2 × 90 = 180. Le coefficient de proportionnalité est 90. On obtient alors 5 × 90 = 450. La voiture parcourt 450 km en 5 h.

Exemple 3 : un problème d'âge

Laure à 7 ans et sa mère 35 ans. Lorsque Laure aura 14 ans, quel âge aura sa mère ?

Attention, certaines situations sont trompeuses : ainsi, dans 7 ans, Laure aura 14 ans (le double de son âge actuel) ; toutefois, sa mère n’aura pas le double de son âge mais simplement 35 + 7 = 42 ans. Il n'y a pas proportionnalité entre l'âge de Laure et celui de sa mère.