Passer du système sexagésimal au système décimal

En 1998, le Brésilien Ronaldo Da Costa a parcouru les 42,195 km du marathon en à peine plus de 2 h 6 min (temps exact : 2 h 6 min 05 s). On pourrait aussi dire en environ 2,1 h.

2 h 6 min et 2,1 h sont deux expressions d'une même durée : la première est une expression du système sexagésimal, la seconde, du système décimal.

Comment passe-t-on de l'une à l'autre ?

1. Le système sexagésimal

1.1. Définition

Une heure (1 h) est égal à soixante minutes (60 min) ; une minute est égal à soixante secondes (60 s) : 1 h = 60 min et 1 min = 60 s.

Le système utilisant les heures, les minutes et les secondes est un système sexagésimal.

Remarques :

on a : 1 h = 3 600 s (60 × 60 = 3 600) ;

sexagésimal signifie que l'on compte par soixantaines, de la même façon que l'on compte par dizaines dans le système décimal ;

ce système sexagésimal est aussi utilisé pour les mesures d'angles (degrés, minutes et secondes). Il était déjà utilisé par les Babyloniens.

1.2. Exemples de calculs dans le système sexagésimal

Exemple 1 : on veut calculer une somme de durées.

2 h 25 min 45 s + 3 h 57 min 30 s = 5 h 82 min 75 s.

Or : 75 s = 1 min 15 s donc 5 h 82 min 75 s = 5 h 83 min 15 s.

Et : 83 min = 1 h 23 min donc 5 h 83 min 15 s = 6 h 23 min 15 s.

Finalement : 2 h 25 min 45 s + 3 h 57 min 30 s = 6 h 23 min 15 s.

Exemple 2 : on veut calculer une différence de durées.

4 h 12 min 7 s - 1 h 38 min 26 s.

On commence par transformer 4 h 12 min 7 s pour pouvoir retrancher les 26 s et les 38 min :

4 h 12 min 7 s = 4 h 11 min 67 s = 3 h 71 min 67 s ; alors :

4 h 12 min 7 s - 1 h 38 min 26 s = 3 h 71 min 67 s - 1 h 38 min 26 s = 2 h 33 min 41 s.

Exemple 3 : on veut écrire la durée : 15 243 s en h, min et s.

On cherche le nombre entier de minutes contenues dans 15 243 s en effectuant la division euclidienne 15 243 ÷ 60.

On trouve : 15 243 = 60 × 254 + 3 et donc : 15 243 s = 254 min 3 s.

On cherche le nombre entier d'heures contenues dans 254 min en effectuant la division euclidienne 254 ÷ 60.

On trouve : 254 = 60 × 4 + 14 et donc : 254 min = 4 h 14 min.

Finalement : 15 243 s = 4 h 14 min 3 s.

2. Passer du système sexagésimal au système décimal

On a :

60 min = 1 h, donc  ;

3 600 s = 1 h, donc  ;

60 s = 1 min, donc .

2.1. Exemple 1

On veut convertir 2 h 6 min dans le système décimal :

, donc (6 ÷ 60 = 0,1).

Par conséquent, 2 h 6 min = 2 h + 0,1 h = 2,1 h.

2.2. Exemple 2

On veut convertir 3 h 55 min 21 s dans le système décimal :

3 h 55 min 21 s = 3 × 3 600 s + 55 × 60 s + 21 s ;

3 h 55 min 21 s = 10 800 s + 3 300 s + 21 s = 14 121 s.

, d'où : .

Donc : 3 h 55 min 21 s = 3,922 5 h.

Remarque : dans ce type de conversion, les divisions ne tombent pas toujours juste comme

dans les exemples ci-dessus. C'est le cas de 20 min qui est égal à  ; on peut écrire : 20 min    0,33 h.

3. Passer du système décimal au système sexagésimal

3.1. Exemple 1

On veut convertir 3,4 h dans le système sexagésimal :

3,4 h = 3 h + 0,4 h = 3 h + 0,4 × 60 min = 3 h + 24 min.

Donc : 3,4 h = 3 h 24 min.

3.2. Exemple 2

On veut convertir 1,528 h dans le système sexagésimal :

1,528 h = 1 h + 0,528 h ;

1,528 h = 1 h + 0,528 × 60 min = 1 h + 31,68 min.

31,68 min = 31 min + 0,68 min ;

31,68 min = 31 min + 0,68 × 60 s = 31 min + 40,8 s.

Donc : 1,528 h = 1 h 31 min 40,8 s.
Remarque : on garde en général le système décimal pour les secondes : (40 secondes et 8 dixièmes, comme c'est l'usage en sport, par exemple).