Lire les coordonnées d'un vecteur et représenter un vecteur de coordonnées données

Sur l'échiquier de la figure 1, imaginons que le cavalier qui est en D3 se déplace en F4 : ce déplacement peut être interprété comme une translation d'un certain vecteur  transformant D3 en F4.

Mais on peut également considérer que le point d'arrivée (case F4) est l'image du point de départ (case D3) par deux translations successives : une translation horizontale de deux cases vers la droite, puis une translation verticale d'une case vers le haut. Ces deux translations vont nous permettre de dire que les coordonnées du vecteur  sont 2 et 1.

1. Lire les coordonnées d'un vecteur

1.1. Principe général

Soit (O, I, J) un repère du plan et un vecteur dont un représentant est .

Pour lire les coordonnées du vecteur  , on décompose la translation qui transforme A en B, c'est-à-dire la translation de vecteur  , en deux translations successives : d'abord une translation parallèlement à l'axe (OI), puis une translation parallèlement à l'axe (OJ).

En langage courant, on dira que pour aller de A à B, on se déplace d'abord parallèlement à (OI), puis parallèlement à (OJ).

Le déplacement parallèlement à (OI) donne l'abscisse du vecteur :

si ce déplacement s'effectue dans le sens des x croissants (de O vers I), il est compté positivement ;

si ce déplacement s'effectue dans le sens des x décroissants (de I vers O), il est compté négativement.
Le déplacement parallèlement à (OJ) donne l'ordonnée du vecteur :

si ce déplacement s'effectue dans le sens des y croissants (de O vers J), il est compté positivement ;

si ce déplacement s'effectue dans le sens des y décroissants (de J vers O), il est compté négativement.

Exemple : considérons la figure 2.

Pour aller de A à B, on se déplace parallèlement à (OI) de 4 unités dans le sens des x croissants ; l'abscisse du vecteur  est donc +4. On se déplace ensuite parallèlement à (OJ) de 2 unités dans le sens des y décroissants ; l'ordonnée du vecteur  est donc –2.

Le vecteur  a donc pour coordonnées (4 ; –2). On note alors (4 ; -2).

1.2. Exemples

On veut lire, sur la figure 3, les coordonnées des vecteurs , , , , , , et .

Les coordonnées de ces vecteurs sont :

(-2 ;-3) ; (0 ;-4) ; (-6 ;0) ; (4 ;1) ; (0 ;2) ; (2 ;-5) ;

(3 ;0) ; (-4 ;3).

Remarque : certains vecteurs ont des directions parallèles à un axe du repère, comme par exemple le vecteur  . Ce vecteur correspond à un déplacement de 0 unité parallèlement à l'axe (OI) (il n'y a pas de déplacement horizontal) et de 4 unités parallèlement à l'axe (OJ), dans le sens des y décroissants. Ses coordonnées sont donc (0 ; –4).

Cas particulier : le vecteur nul a pour coordonnées (0 ; 0) dans n'importe quel repère, puisqu'il se représente par un point.

2. Représenter un vecteur de coordonnées données

2.1. Premier exemple

Représentons un vecteur de coordonnées (–5 ; 1) dans un repère (O, I, J). On va construire un représentant  de ce vecteur  .

Pour cela, on choisit un point A quelconque, par exemple A(1 ; 2), puis on place le point B image de A par la translation de vecteur  (-5 ; 1), suivant le principe exposé au paragraphe 1 :
à partir de A, on effectue un déplacement de 5 unités parallèlement à (OI) dans le sens des x décroissants (qui correspond à l'abscisse –5 de ) ;

on effectue ensuite un déplacement de 1 unité parallèlement à (OJ) dans le sens des y croissants (ce qui correspond à l'ordonnée +1 de ).

Le point obtenu est le point B.

2.2. Autres exemples

Exemple 1 : on veut représenter dans un repère (O, I, J) les vecteurs suivants :
(4 ;-3) ; (0 ;2) ; (-5 ;-2) ; (4 ;6) ; (-4 ;0).

Exemple 2 : soit (O, I, J) un repère du plan, et et deux vecteurs tels que (5 ;2) et (-4 ;3).

On donne M(–1 ; –3) et P(2 ; 1). On veut placer les points R et S définis par les égalités vectorielles   =  et  =  .

Il s'agit donc de construire un représentant d'origine M du vecteur  et un représentant d'origine P du vecteur  . Il suffit de suivre la méthode utilisée dans l'exemple du paragraphe 2.1.