Fabriquer un prisme droit, calculer son aire latérale

Pour fabriquer une boîte rectangulaire, on peut en dessiner un patron sur une feuille de carton que l'on découpe et que l'on plie.

Quelle est la méthode de construction de ce patron et comment peut-on calculer l'aire du prisme droit ?

1. Construire le patron d'un prisme droit

On veut construire un patron du prisme droit représenté sur la figure 1.

Les deux bases de ce prisme sont triangulaires ; elles sont superposables ; leurs côtés mesurent respectivement 1 cm, 1,5 cm et 2 cm.

La surface latérale comprend trois faces rectangulaires de même longueur, cette longueur étant égale à la hauteur du prisme : 3 cm.

Les largeurs de ces mêmes faces sont respectivement égales aux longueurs des côtés des bases : 1 cm, 1,5 cm et 2 cm.

Sur la figure 2, on peut voir un patron du prisme et une simulation de pliage de celui-ci :

Remarque : il existe plusieurs patrons d'un prisme droit donné ; en voici deux du prisme précédent :

2. Calculer l'aire latérale d'un prisme droit

L'aire latérale d'un prisme droit est la somme des aires de ses faces latérales. En dehors du cas particulier où le prisme est un parallélépipède rectangle, l'aire latérale est donc la somme des aires de toutes les faces rectangulaires.

2.1. Exemple

Considérons le prisme droit de la figure 1. Son aire latérale est égale à l'aire du grand rectangle colorié sur le premier patron ; celui-ci est lui-même formé de trois rectangles et mesure 3 cm de large et 4,5 cm de long (1,5 + 2 + 1 = 4,5). L'aire latérale du prisme droit est donc égale à 13,5 cm2 (3 × 4,5 = 13,5).

Remarque : on peut remarquer que la longueur du grand rectangle (4,5 cm) est égale au périmètre de chaque base.

2.2. Cas général

L'aire latérale A d'un prisme droit de hauteur h et ayant des bases de périmètre P est donnée par la formule : A = P × h.

Pour appliquer cette formule, A, P et h doivent être exprimés dans des unités correspondantes ;par exemple : A en cm2, P en cm et h en cm