Fabriquer un cylindre de révolution, calculer son aire latérale

Pour fabriquer une boîte cylindrique, on peut en dessiner un patron sur une feuille de carton que l'on découpe et que l'on plie.

Quelle est la méthode de construction de ce patron et comment peut-on calculer l'aire latérale du cylindre ?

1. Construire le patron d'un cylindre de révolution

On veut construire un patron du cylindre de révolution représenté sur la figure 1.

Les deux bases de ce cylindre sont des disques de 1,5 cm de rayon chacun. Le patron de la surface latérale est rectangulaire ; ses dimensions sont égales d'une part à la hauteur du cylindre (3 cm), d'autre part au périmètre des disques de base.

Pour calculer ce périmètre, on applique la formule : P = 2×   × R

où P, et R désignent respectivement le périmètre, le nombre pi (environ 3,14) et le rayon.

On obtient : P = 2 × 3,14 × 1,5 = 9,42.

Le périmètre est donc environ égal à 9,4 cm.

Sur les figures 2 et 3, on peut voir un patron du cylindre et une simulation de pliage de celui-ci.

Remarque : il existe plusieurs patrons d'un cylindre de révolution donné ; en voici un deuxième du cylindre de la figure 2.

2. Calculer l'aire latérale d'un cylindre de révolution

Le patron de la surface latérale d'un cylindre de révolution est une surface rectangulaire. L'aire latérale du cylindre est égale à l'aire de cette surface rectangulaire.

2.1. Exemple

Considérons le cylindre de révolution de la figure 1 et un de ses patrons. L'aire latérale du cylindre est égale à l'aire du rectangle du patron. Ce rectangle mesure 3 cm de large et 3   cm de long (2 ×   × 1,5 = 3  ).

Son aire est donc égale à 3 × 3   cm2, soit 9   cm2, c'est-à-dire environ 28,27 cm2.

2.2. Cas général

L'aire latérale A d'un cylindre de révolution de hauteur h et de rayon R est donnée par les formules :

A = 2 ×   × R × h

ou

A = P × h (P désignant le périmètre d'une base).

Pour appliquer ces formules, A, R, h et P doivent être exprimés dans des unités correspondantes ; par exemple :

A en cm2, R en cm, h en cm et P en cm.

Remarque : la formule A = P × h s'applique aussi au calcul de la surface latérale d'un prisme droit.