Donner la forme irréductible d'un nombre en écriture fractionnaire (3e)

Une fraction irréductible est une fraction « qui ne peut pas être réduite » c'est-à-dire, en langage mathématique, que l'on ne peut pas simplifier.

Comment savoir si une fraction est irréductible ? Si une fraction n'est pas irréductible, comment la transformer en une fraction irréductible ?

C'est à ces deux questions que nous allons maintenant répondre.

1. Définitions et propriété

1.1. Définitions

Définition 1 : soit a et b deux entiers naturels, avec  ; on dit que l'on peut simplifier la

fraction si a et b possèdent un diviseur commun k supérieur ou égal à 2.

Dans ce cas, il existe deux entiers naturels c et d tels que a = c × k et b = d × k et on peut

écrire :  ; on dit qu'on a simplifié la fraction par k.

Par exemple, la fraction  peut être simplifiée par 2, en effet : .

Définition 2 : soit a et b deux entiers naturels avec . On dit que la fraction  est irréductible si elle ne peut pas être simplifiée.

1.2. Propriété

Dire que la fraction  est irréductible, c'est dire que a et b n'ont pas d'autres diviseurs communs que 1, ou encore que PGCD (a, b) = 1.

Remarque : on dit que deux entiers naturels sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.
Par exemple, la fraction est irréductible car 7 et 6 ont 1 pour seul diviseur commun.

D'après cette propriété, pour savoir si une fraction  est irréductible, il suffit de calculer le PGCD de a et b.

Deux cas sont alors possibles :

si PGCD (a, b) = 1, la fraction est irréductible ;

si PGCD (a, b)   1, on rend la fraction irréductible en la simplifiant par PGCD (a, b).

2. Le calcul du PGCD de deux entiers

2.1. La méthode des différences

Propriété : si a et b sont deux entiers naturels non nuls tels que a > b, alors : PGCD (a, b) = PGCD (b, a – b).

Méthode : pour calculer le PGCD de deux entiers naturels, on applique cette propriété plusieurs fois de suite et, à chaque étape, on obtient des entiers de plus en plus petits. Les deux exemples ci-dessous montrent comment s'arrête le processus.

Exemple 1 : calcul du PGCD de 12 et 18. On a successivement : PGCD (18, 12) = PGCD (12, 6) = PGCD (6, 6) = 6.

Exemple 2 : calculer le PGCD de 45 et 32. On a successivement : PGCD (45, 32) = PGCD (32, 13) = PGCD (19, 13) = PGCD (13, 6) = PGCD (7, 6) = PGCD (6, 1) = 1.
L'étape finale du processus est :

soit PGCD (n, n), avec , et, dans ce cas, le PGCD est n ;

soit PGCD (n, 1), avec , et, dans ce cas, le PGCD est 1.

2.2. L'algorithme d'Euclide

Propriété : si a et b sont deux entiers naturels non nuls tels que a > b et si r désigne le reste de la division euclidienne de a par b, alors : PGCD (a, b) = PGCD (b,  r). Cette propriété est appelée algorithme d'Euclide car elle met en jeu la division euclidienne.

Méthode : pour calculer le PGCD de deux entiers naturels, on applique cette propriété plusieurs fois de suite et on s'arrête à la première division euclidienne dont le reste est égal à 0. Le PGCD cherché est alors le dernier reste non nul de la suite des divisions effectuées. Il est commode de présenter les résultats sous la forme d'un tableau, comme le montre l'exemple qui suit.

Exemple : calcul du PGCD de 128 et 58.

Le PGCD de 128 et 58 est donc égal à 2.

3. Exemples d'application

3.1. Reconnaître une fraction irréductible

Exemple : on veut démontrer que la fraction  est irréductible.

Calculons le PGCD de 352 et 159, par l'algorithme d'Euclide. On obtient le tableau suivant.

On a donc : PGCD (352, 159) = 1, ce qui prouve que la fraction  est irréductible.

3.2. Transformer une fraction en une fraction irréductible

Exemple : on veut rendre la fraction  irréductible.

Calculons le PGCD de 1 612 et 1 519 par l'algorithme d'Euclide. On obtient le tableau suivant.

On a : PGCD (1 612, 1 519) = 31. On peut donc simplifier la fraction par 31 et la fraction obtenue

alors est irréductible : .