Décrire et représenter un prisme droit

Une tente de camping, certaines boîtes de confiserie sont autant de représentations de prismes droits. Quelles sont les caractéristiques de cette figure et comment peut-on la décrire ?

1. Représentation

Les solides dessinés sur la figure 1 sont des prismes droits. Ils sont représentés en perspective cavalière ; ainsi, les arêtes cachées apparaissent en pointillé.

2. Caractérisation

Un prisme droit est un polyèdre qui a deux faces parallèles et superposables et dont les autres faces sont rectangulaires.

Par exemple, le prisme P1 de la figure 1 a deux faces triangulaires, qui sont parallèles et de mêmes dimensions, et trois faces rectangulaires.

3. Description

Dans un prisme droit, les faces parallèles s'appellent des bases ; les autres faces sont les faces latérales.

Le tableau suivant donne, pour chacun des prismes droits représentés sur la figure 1, le nombre de sommets, d'arêtes, de faces et la nature des bases :

Un prisme droit étant donné, appelons s le nombre de sommets, a le nombre d'arêtes, l le nombre de faces latérales et f le nombre total de faces. On a les relations suivantes, que l'on peut vérifier avec les données du tableau :

s = 2 × l ;
a = 3 × l ;
f = l + 2 ;
s - a + f = 2.

La dernière relation, difficile à démontrer, est due au mathématicien suisse Leonhard Euler (1707 – 1783).

4. Cas particuliers : parallélépipède rectangle et cube

Un prisme droit ayant des bases rectangulaires est un parallélépipède rectangle. Dans ce cas, on peut choisir deux faces opposées quelconques comme bases ; les quatre autres faces sont alors des faces latérales.

Un cube est aussi un prisme droit particulier, dont les bases et les faces latérales sont carrées.