Construire les hauteurs d'un triangle et déterminer son orthocentre

Dans un triangle, on peut tracer trois hauteurs.

Quelles propriétés ont les droites ainsi obtenues et qu'appelle-t-on orthocentre du triangle ?

1. Les hauteurs d'un triangle

Une hauteur d'un triangle est une droite qui passe par un sommet de ce triangle et est perpendiculaire au support du côté opposé à ce sommet.

Ainsi construire la hauteur passant par A dans le triangle ABC revient à construire la perpendiculaire à la droite (BC) passant par A.

Remarques :

sur la figure 1, A' s'appelle le pied de la hauteur issue de A ;

le mot hauteur désigne aussi le segment joignant un sommet et le pied de la hauteur issue de ce sommet (le segment [AA'] sur la figure 1) ;

le mot hauteur désigne encore la longueur du segment (la longueur AA' sur la figure 1). C'est dans ce sens qu'il faut le prendre lorsqu'on dit : l'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit de la base par la hauteur ;

dans un triangle, il y a trois hauteurs (autant que de sommets) ;

la hauteur issue d'un sommet ne coupe pas toujours le côté opposé à ce sommet.

2. L'orthocentre d'un triangle

2.1. Propriété

Dans un triangle, les trois hauteurs sont concourantes. Leur point de concours est appelé l'orthocentre de ce triangle.

Remarques : en pratique, il suffit de tracer deux hauteurs pour trouver l'orthocentre.

2.2. Position de l'orthocentre

L'orthocentre ne se trouve pas toujours à l'intérieur du triangle.

On observe que :

si les trois angles sont aigus, alors l'orthocentre est à l'intérieur du triangle (cas 1) ;

si le triangle a un angle obtus (plus grand qu'un angle droit), alors l'orthocentre est à l'extérieur du triangle (cas 2) ;

si le triangle est rectangle, alors le sommet de l'angle droit est l'orthocentre (cas 3).

Remarque : ABC est un triangle et H, son orthocentre. On observe que C est l'orthocentre de ABH. De même, l'orthocentre de BCH est A et l'orthocentre de CAH est B.