Calculer une expression numérique (3)

Comment calculer une expression faisant intervenir l'addition et la soustraction de nombres relatifs ?

1. Calculer une somme algébrique

1.1. De gauche à droite

(1) En général, on calcule de gauche à droite.

Exemple : pour effectuer (-2) + (-1,5) - (-0,3), on calcule d'abord (-2) + (-1,5), puis on soustrait (-0,3) au résultat obtenu.

On peut présenter les calculs de la manière suivante, en faisant figurer sur chaque ligne une étape du calcul :

A = (-2) + (-1,5) - (-0,3)

A = (-3,5) - (-0,3)

A = (-3,5) + (+0,3)

A = -3,2

1.2. En changeant l'ordre des termes

Il est possible de modifier l'ordre des termes pour faciliter les calculs.

Exemple avec deux termes :

B = (-24,8) - (-32,5) + (+24,8)

B = (-24,8) + (+24,8) - (-32,5)

B = 0 + (+32,5)

B = +32,5

2. Donner une écriture allégée d'une somme algébrique

2.1. Règles

(2) Pour les nombres positifs, l'écriture du signe + et des parenthèses est facultative.

(3) Dans une somme, si le premier terme est négatif, les parenthèses sont facultatives.

(4) Additionner un nombre revient à soustraire son opposé (et soustraire un nombre revient à additionner son opposé).

2.2. Exemples avec deux termes

(+7) - (+2) peut s'écrire 7 - 2 d'après la règle (1).

On écrit : (+7) - (+2) = 7 - 2 = 5.

(-3) + (+1) peut s'écrire (-3) + 1 d'après la règle (2), puis -3 + 1 d'après la règle (3).

On écrit : (-3) + (+1) = -3 + 1 = -2.

(+1) + (-4) peut s'écrire (+1) - (+4) d'après la règle (4) ; puis 1 - 4 d'après la règle (2).

On écrit : (+1) + (-4) = 1 - 4 = -3.

2.3. Généralisation

On veut simplifier l'écriture de l'expression :

E = (-2) + (+3) + (-4) - (+5) - (-6).

On a :

E = (-2) + (+3) - (+4) - (+5) + (+6) d'après la règle (4).

E = (-2) + 3 - 4 - 5 + 6 d'après la règle (2).

E = -2 + 3 - 4 - 5 + 6 d'après la règle (3).

En pratique, pour aller vite, on peut utiliser les règles de transformations d'écritures suivantes :

3. Calculer une expression avec des parenthèses emboîtées

On commence par effectuer les calculs dans les parenthèses les plus intérieures.

Exemples avec deux termes :

C = (-5) - ((-2) + (+7))

C = (-5) - (+5) = (-5) + (-5) = -10

D = [(-1,2) - (-2)] - [3 - (7,1 - (-8,5) + (-3)].

Utilisons les écritures allégées :

D = [-1,2 + 2] - [3 - (7,1 + 8,5 - 3)]

D = 0,8 - [3 - 12,6]

D = 0,8 - [-9,6]

D = 0,8 + 9,6

D = 10,4